Factorización

“Factorizar es el proceso que permite descomponer en factores una expresión matemática” (Becerra Espinosa, s.f.). Es decir, se debe identificar el factor que tienen en común todas las expresiones aplicadas.

Actualmente existen muchas formas en las que factorizar. Aquí encontraras algunos casos de factorización.

Caso I – Factor Común

Como lo dice su nombre se hallar el factor que se repite en el binomio, trinomio o polinomio, sacar la parte literal con el menor exponente y el común divisor, en el caso de que exista.

Por ejemplo,

     1. x + 2xy + 3x² = x (1 + 2y + 3x)

     2. 10x³ + 4a²x² + 8ax = 2x (5x² + 2a²x + 4a)

 

Caso II ­– Agrupación de Términos

Este caso se utiliza cuando los términos se pueden agrupar en grupos si tienen más de un factor en común.

Por ejemplo,

1. ax + by + ay + bx
   ax + by + ay + bx
   (ax + ay) + (bx + by)
   a(x + y) + b(x + y)
   (a + b) (x + y)

2. 10mp – 15pn + 6mn – 9n^{2
   10mp – 15pn + 6mn – 9n2}
   (10mp + 6mn) – (15pn + 9n²)
   2m(5p + 3n) – 3n(5p + 3n)
   (2m – 3n) (5p + 3n)

 

Caso III ­– Trinomio Cuadrado Perfecto

Se le llama trinomio cuadrado perfecto al polinomio de tres términos tiene dos términos con raíces cuadradas exactas y el tercer termino es igual al producto de ambas raíces multiplicadas por 2.

Por ejemplo,

     1. 64x² + 64xy + 16y²

     Se comprueba si dos términos tienen raíces exactas

        √(64x²) = 8x

        √(16y²) = 4y

     Ahora se multiplican los resultados de las raíces por dos

        2(8x)(4y)= 64xy

     Esto quiere decir que si es un trinomio cuadrado perfecto y se representa

        (8x + 4y)²

 

Caso IV – Diferencia de Cuadrados

Este se representa por la diferencia de dos términos que son cuadrados perfectos, es decir, que tienen raíces exactas.

Por ejemplo,

     1. 25x² - 100y²

     Se comprueba si los dos términos tienen raíces exactas

        √(25x²) = 5x

        √(100y²) = 10y

     Como los dos términos son cuadrados perfectos quiere decir que se cumplen la condición, por lo que se representa de la forma

        (5x + 10y)(5x - 10y)

 

     2. 49x² – 144y²

        √(49x²) = 7x

        √(144y²) = 12y

        (7x + 12y)(7x - 12y)

 

Caso V – Trinomio de la Forma xⁿ + bx^n/2 + c

Para factorizar trinomios de la forma xⁿ + bx^n/2 + c, donde xⁿ es un cuadrado perfecto y n es un numero natural par, el primer término debe tener raíz cuadrada. Se expresa como el producto de dos binomios cuyo primer termino para ambos será la raíz cuadrada de xⁿ, es decir x^n/2, Y para los siguientes dos términos debe cumplir con la condición de que la suma de ambos sea igual a el coeficiente b y a su vez el producto de ambos debe ser igual al coeficiente c.

        Para tener en cuenta:

• Si el término c es positivo entonces los dos números buscados tienen el mismo signo. Si b es positivo los números son positivos. Si b es negativo los números son negativos.
  
  
• Si el término c es negativo entonces los números buscados tienen signos contrarios y el signo del número más grande es el mismo que el del coeficiente b. (Becerra Espinosa, s.f.)

Ejemplo:

     a) x² + 7x + 10

1.       Comprobamos que el primer término tenga raíz cuadrada

                                        √(x²) = x

2.       Al ser el termino c positivo (10) y el b también (7) quiere decir que ambos términos restantes son positivos.

3.       Ahora se debe buscar dos números que sumados den 7 y multiplicados 10. Entonces los números buscados son 5 y 2. Por lo tanto la respuesta es:

(x + 5 )(x + 2)

     b) y⁴ + 3y² - 28

√(y⁴) = y²

o   En este caso el termino c es negativo (-28) entonces los números buscados tienen signos diferentes y el número mayor tendrá signo positivo ya que el coeficiente b es positivo (3). Entonces, los números que se buscan son 7 y -4, quiere decir que la respuesta es:

(y + 7)(y - 4)

 

Caso VI – Trinomio de la Forma ax² + bx + c

Una de las formas para factorizar este tipo de trinomio es usando el siguiente procedimiento:

Ejemplo:

            6x² + 7x + 2

1.       Se multiplican todos los términos por el coeficiente a:

                           6(6x²) + 6(7x) + 6(2) 

2.       Se expresa el primer término en forma de cuadrado y para el segundo término se intercambia el coeficiente a por b:

                           (6x)² + 7(6x) + 12 

3.       Se factoriza aplicando el caso v. Se buscan dos números que multiplicados den 12 y que sumados den 7. En este caso los números buscados son 3 y 4:

                           (6x + 3)(6x + 4) 

4.       Se divide el resultado entre a de forma tal que no quede ningún cociente:

                   Por lo tanto la respuesta es:

                                             (2x + 1)(3x + 2)

(Becerra Espinosa, s.f.)

 

Aquí puedes encontrar un apoyo visual y practico para aprender algunas formas de factorizar.

Nota: Tomado de Youtube, por Matemáticas profe Alex, 2021, https://www.youtube.com/watch?v=a8CUEopWCN0

Referencias

Becerra Espinosa, J. M. (s.f.). MATEMÁTICAS BÁSICAS ACTORIZACIÓN . UNAM.

Matemáticas profe Alex (25 de junio de 2021). Factorización los 6 métodos más usados | Explicación completa. Obtenido de YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=a8CUEopWCN0